三元哥德巴赫猜想被法国科学家Harald Andrés Helfgott彻底证明

2013年5月，来自法国国家科学研究院CNRS和巴黎高等师范学院ENS的数论专家H. A. Helfgott通过两篇预印本论文给出了三元哥德巴赫猜想的严格数学证明。

所谓三元哥德巴赫猜想，又称为弱哥德巴赫猜想或奇数哥德巴赫猜想，是指每一个不小于7的奇数都可以表达成三个素数之和。三元哥德巴赫猜想和哥德巴赫猜想（又称为偶数哥德巴赫猜想或强哥德巴赫猜想）都起源于1742年欧拉和哥德巴赫交流的书信中，而三元哥德巴赫猜想可以看作哥德巴赫猜想的一个推论。1923年，英国数学家哈代(Godfrey Harold Hardy)与李特尔伍德(John Edensor Littlewood)证明，假设广义黎曼猜想成立，弱哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。而后的几十年里，数学家们一直在想办法去掉对广义黎曼猜想成立的前提假设和将“充分大的奇数”降低。1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）在无需广义黎曼猜想的情形下，直接证明了充分大的奇数可以表示为三个素数之和。1956年，苏联数学家K. Borozdin证明，大于3^{3^15}的奇数可以写为三个素数之和。2001年，来自香港大学的学者廖明哲与王天泽进一步把“充分大”的下限降至n>e³¹⁰⁰≈2×10¹³⁴⁶。直接使用计算机验证这个就界内的奇数是否满足三元哥德巴赫猜想还十分困难。通过计算机计算，大致可以验证小于10^18的整数是否满足三元哥德巴赫猜想。

沿着另一条思路，1995年，莱塞克·卡涅茨基（Leszek Kaniecki）证明了在黎曼猜想成立的前提下，奇数都可表示为最多五个素数之和。进一步，在2012年，陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。

Helfgott教授于2013年5月在线发表了关于弱哥德巴赫猜想的严格数学证明。证明分两篇文章给出。在文章“Minor arcs for Goldbach's problem”中，Helfgott教授给出了指数和形式∑_p≤xe(αp), α=a/q+O(1/q²)的一个新界。然后在文章“Major arcs for Goldbach's theorem”中，Helfgott综合使用了圆法，筛法和指数和等传统方法，辅之以严格的计算，包括在D. Platt帮助下对狄利克雷L函数零点的检测，最终证明了弱哥德巴赫猜想。

Harald Andrés Helfgott于2003年在Henryk Iwaniec教授的指导下获得普林斯顿大学博士学位。2003-2004和2004-2006年分别在耶鲁大学和蒙特利尔大学做博士后。2010年开始担任法国国家科学研究院CNRS和巴黎高等师范学院ENS的研究员。

论文地址

Minor arcs for Goldbach's problem: http://arxiv.org/abs/1205.5252

Major arcs for Goldbach's theorem: http://arxiv.org/abs/1305.2897

（刘刚整理 2013-5-23）