数学陶冶我一生

数学陶冶我一生

　　本文原题 My Mathematical Education。译自作者于1991.10.28寄给《陈省身文选》编者的复印中。原文已刊在丘成桐主编的文集《Chern-A Great Geometer of the Twentieth Century》(1992)中。本文现收录在《陈省身──20世纪的几何大师》（《Chern-A Gre at Geometer of the Twentieth Century》中译本），交大出版社出版。

早年在中国所受的教育

　　我于1923年1月进天津扶轮中学。那是一所四年制的高级中学，我获准插班入一年级就读第二学期。该校的数学课程有：

(1)第一年，算术，使用中文课本；
(2)第二年，代数，使用 Hall 与 Knight 的课本；
(3)第三年，几何，使用 Wentworth 与 Smith 的课本；
(4)第四年，三角学和高级代数，分别使用 Wentworth-Smith 及 Hall-Knight 的课本。

　　我的老师都很有能力，又极富献身精神，我做了大量习题。到第四年，我已能做许多 Ha ll-Knight 的书中引用的剑桥大学荣誉学位考试的题目。

　　1926年我从扶轮毕业；同年我进南开大学，实际上是跳了两级，因此我从未上过解析几何课。更糟的是，我必须参加南开大学的入学考试，其数学试题中解析几何占很重的份量。考试前的三个星期，我自学了 Young 与 Morgen 的《数学分析》（Mathematical analy sis）如果记得不错的话，我的考卷位列第二。不过在很长的一段时间内，「圆锥曲线的焦点」这一概念令我大伤脑筋，直到几年后学了射影几何学我才茅塞顿开。

　　进南开大学后，我很快就发现自己做实验笨手笨脚，于是数学便成为我唯一的选择。我有幸得姜立夫教授为师-他1918年获哈佛大学哲学博士学位，导师是 J. Coolidge，论文题目是关于非欧几里得空间中线球接触变换的。因此，我在大学第四年，花了许多功夫学几何，所读的书中有 Coolidge 的《非欧几何学》(Noneuclidean Geometry) 与《圆和球的几何学》(Geometry of the circle and sphere)，Solmon 的《圆锥曲线》(conic sections) 与《立体解析几何》(Analytic Geometry of Three Dimmensions)，以及 Castelnuovo 的《解析几何与射影几何》(Analytic and Projective Geometry) 等。尤其使我着迷的是 Otto Staude 的二卷本着作《线构造》(Fadenkonstruktionen)。二次超曲面的几何是数学中优美的篇章。我很高兴看到 J. Moser 1979年在可积哈密顿系统和谱理论的研究中继续这方面的工作。（参见3）甚至在今日，研究 Salmon 的东西可能仍是有价值的，至少在我看来是有趣的。

　　1930年我从南开毕业，去北平清华大学从孙鎕【注1】教授工作。孙先生在当时是中国发表数学研究论文的唯一的数学家。孙的研究领域是射影微分几何，他曾是芝加哥大学 E.P.Lane 的博士生。这个主题由 E.J. Wilczynsky 于1901年创立，是那时已经支配几何学近一世纪的射影几何的一个自然产物。我熟悉了这方面的文献，并写了几篇论文，其中包括我的有关射影线几何的硕士论文。继 Plücker 与 Klein 之后，线几何一直是几何学家们喜爱的主题。事实上，Klein 的学位论文就是关于二次线体的，即 Plücker 坐标下的二次方程所确定的线轨 (line loci)。二次线体具有许多背景中也有许多线几何的内容。

　　我的论文研究线汇，即线的二维子流形以及它们的通过二次线体的密切 (osculation)。

　　在我的研究生学业接近结束时，即大约1934年左右，我开始认识到整体微分几何（当时称为大范围微分几何）的重要性。我的主要灵感来自 W. Blaschke 的关于微分几何的那些著作。

　　很清楚，代数拓扑是整个领域的基础。而代数拓扑本身当时还处于发展阶段。Veblen 于1922年发表的 analysis situs 【注2】引进了「同调不变量」(homology characters) 即根据关联矩阵得出的 Betti 数和挠系数。Lefschetz 的《拓扑学》于1930年出版，但该书对初学者进入这个领域并无裨益。我曾听过 Emanuel Sperner 的讲课（1933～1934年）。当时 Sperner 正在北京大学访问，他的课包含有对 Erhard Schmidt 关于约当曲线定理的证明的严密而详细的论述。我也听过江泽涵讲授的以 Lefschetz 的书为蓝本的「位置分析」课，江是 Marston Morse 过去的学生，曾担任 Lefschetz 的助手。而我当时的感觉是我只是刚刚站在代数拓扑这座伟大殿堂的门口。到1934年 Seifert-Threlfall 的书和1935年 Alexandroff-Hopf 的书问世，情况才有了巨大的变化。

　　1932年春季，Blaschke 访问了北平，作了关于「微分几何中的拓扑问题」的系列演讲。这是真正的局部微分几何。他采用全体微分同胚构成的伪群取代经典微分几何中的李群，并研究了局部不变量。我能跟上 Blaschke 的演讲并去阅读发表在汉堡大学数学讨论会论文集 (Hamburger Abhandlungen) 及其它杂志上的包含在这同一个总标题下的许多论文。这个主题现在称为网几何 (web geometry)。由于有此接触，之前又已掌握 Blaschke 的微分几何书中的知识，所以当1934年获得一笔奖学金时，我决定去汉堡留学。

欧洲的留学生活

　　1934～1936年我在汉堡，1936年获理学博士学位；并曾在巴黎随 Elie Cartan 从事一年博士后研究，去汉堡的选择实属幸运之举。汉堡大学有一个很强的数学系，Blaschke、Artin 以及 Hecke 是那里的教授，较资浅的成员包括 E. K?hler、H. Petersson 和H. Zassenhaus。

　　那时 Blaschke 的数学兴趣正从网几何转向积分几何。1934年9月我刚见到他时，他给了我一大叠关于网几何的抽印本。我开始对网的秩的概念和具有最大的秩的网产生了兴趣。大家知道，Rn 中一个余维是 1 的 d 网由处于一般位置的 d 个超曲面叶结构组成。设 x1,...,xn 是 Rn 的坐标，叶状结构由方程

给定。形如

的方程被称为是 Abel 方程。线性无关的 Abel 方程的最大个数被称为是这个网的秩。如果 d-网由 Rn 空间里的 d 类代数曲线的超平面定义，它就具有这样的 Abel 方程，它们是将 Abel 定理应用于 Abel 微分获得的。因而这个 d-网的秩至少是该曲线的亏格 (genus)。在一篇短文中我确定了 Rn 中所有余维为 1 的 d-网的最大秩。根据 Castelnuovo 的一个定理，这个整数等于 n 维射影空间 Pn 里不属于任意超平面 Pn-1 的 d 次代数曲线的最大亏格。值得注意的事实是，并非所有具有最大秩的网都是由上述方式描述的具有最大亏格的代数曲线给出的；这里存在怪异的具有最大秩的网，这些网的叶并非都是超平面。这些 Abel 方程本质上是函数方程，因为在经典情形中，这些方程变成众所周知的超越函数的加法定理。在平面上 (n=2)，曲线的 5-网的最大秩为 6，而且存在一个怪异网（Bol网），这个网的 Abel 方程含二重对数。1978年 Griffiths 和我研究了 Rn 中具有最大秩且余维为 1 的 d-网问题，但我们没有获得最后结果。我认为确定这样的怪异网是一个非常有趣且很重要的问题。

　　1934～1935年间我的主要精力用于参加 K?hler 的讨论班。讨论班以 K?hler刚出版不久的著名小册子《微分方程组理论导引》(Einführung in die Theorie Systeme von Differentialgleichangen) 为基础。主要成果就是后来所称的 Cartan-K?;hler 定理。所有的人，包括 Blaschke、Artin 与 Hecke，都出席了首次讨论会，每人还得到一本上述的小册子。但参加者减少得很快，我是坚持到底的极少数人之一。我把这一理论用于 R2r 中 r 维子流形的 3-网。Blaschke 和 K?hler 都认为这个结果与我先前关于最大秩的结果已足够写成一篇学位论文了。到1935年底我的学位论文已准备就绪。

　　Blaschke 及其学派主要关心积分几何，Blaschke 开过积分几何的课程。这一主题最漂亮的结果是由 L.A. Santalò 发现的。一个结果是用正项的无穷和表示平面凸曲线的等周亏量，其中每个正项均具几何意义。Santalò 的工作使他成为积分几何方面的世界级领袖。他原籍西班牙，后来移民到阿根廷。

　　我的另一位学友是代数几何学家周炜良，他为了跟 Hermann Weyl做研究从芝加哥来到哥廷根。但是哥廷根乃至整个德国政局的变化使这一愿望成为泡影，他又转往莱比锡随 Van der Waerden 工作。由于某种原因，他住在汉堡，有时来参加讨论班。周炜良当时正在发展他的「配型」(zugeordnete Formen)，即后来所称「周氏坐标」。周是一位有创见的数学家。他对代数几何作出了重要贡献，包括他的紧子簇定理和相交理论。周出身于中国一个高层官宦家族，它很早就认识到西化的必要，因此这个家族出了不少杰出人物。周习惯夜间工作。当他来访时我就得牺牲一些睡眠，但却学得一些数学。

　　无论如何，只要可能，我就去听 Artin 的讲课。二年间他开过的课包括复变函数论、代数拓扑、相对论和丢番图逼近等。我还听过 Hecke 主要按他的书讲的代数数论课。我在汉堡的学术生涯是很理想的，但是政局不允许这种生活继续下去。

　　1936～1937年我可从事一年博士后研究。当我征求 Blaschke 的意见时，他建议我或继续留汉堡跟 Artin 研究数论，或去巴黎跟随 Elie Cartan。这两个方案都有吸引力，我最后选择了后者。

　　这一抉择非常理想。那年 Cartan 开了一门外微分系统的课程；讲义后来以书的形式出版了。那些后来成为 Bourbaki 的「年轻的」法国数学家开始活跃起来。他们组织了一个「Julia 讨论班」，每二周聚一次，致力于对每年选定的一个专题进行研究。1936～1937年的专题是「E. Cartan 的工作」。

　　Cartan 是位极好的导师。他提出的「小」问题，有些成为我论文的主题。大概由于我对他所提问题作的解答，他允许我大约每二周去他家一次。见面后的第二天我通常会收到他的信，信中往往说：「你走后我又考虑了他的问题。......这问题似乎很有趣......」这一年过得有趣而令人难忘。

　　我还听过 Montel 有关多复变的讲课，参加过 Hadamard 在法兰西学院举办的讨论班。在
每次讨论班结束时 Hadamard 总会作总结，它通常比讨论班上的演讲本身更清楚更丰富。

　　在获悉中日战争爆发的消息后，我怀着沉重的心情于1937年7月10日告别巴黎返回中国。

数学上与世隔绝

　　1937年夏我离欧返华时，本打算去北平就任清华大学教授之职，由于中日战争之故，十年后才达到此目的。当时清华大学先搬到长沙，1938年又迁至昆明，在那儿一直滞留到1945年夏战争结束。

　　昆明是座美丽的城市。虽然处于战事中的国家物资匮乏、局势动荡，但在生活的其它方面倒是愉快的。清华大学与北京大学、南开大学联合，组成了西南联合大学，昆明立刻成为战时中国知识界的中心。我的数学同仁包括华罗庚和许宝騄。我开了代数拓扑、李群、球几何及外微分系统等方面的课程和讨论班，吸引了一批学生。主要的不便是此地与外界的联系被切断了：有段时间连「缅甸信道」也关闭了，与外界的联系只有靠空运。我有个私人小书库。起初，我做了以前想做而没时间做的事：读了些书，思考些问题，还觉得有趣。但挫折很快就降临了，而且必须克服。我将此情信告 E. Cartan，他寄给我许多他的抽印本，包括一些过去的论文。我花了大量时间研读这些论文，考虑其内涵及应用。这确实使我受益匪浅。在30年代，人们已开始认识到 Cartan 的工作的重要性，如 Weyl、Blaschke 和 K?hler，但几乎没有人去读 Cartan 旧时的论文（有关李代数的论文除外）。我很幸运能因环境之故把这些论文都遍读无遗。

　　驻华盛顿的中国大使胡适博士空邮来一本 Hurewicz-Wallman 写的有关《维数论》的书。现今习惯于静电复印的人也许很难想象我把除最后一章外的整本书抄了一遍。在最后一章中，作者是在没有正合序列概念的情况下处理正合序列的问题，我觉得很难理解。其实当时读论文作笔记是很普通的。复印大量资料并不能说明自己取得了多少进步。

　　我开始有了一些学生，其中有王宪钟和严志达。王后来对拓扑学作出了许多贡献，尽管他最出名的成果是王序列。严最早给出所有例外李群的 Betti 数的正确值。

　　回首往事，我并不认为自已对作为整体的数学有完善的见地。我清楚自己的某些不足并渴望得到充实。我的数学实力在于我能算。至今我不在乎繁复的计算，直到数年前我做这样的计算还很少出现差错。这方面的训练现在不大流行，也得不到鼓励，但在处理许多问题时它仍有很大的好处。

　　Gauss-Bonnet 公式曾使我着迷，我知道它的最概念化的证明是通过结构方程来表示联络形式的外微分。当1943年我去普林斯顿时，它已为为我在数学工作中最得意的一篇论文开了题。

普林斯顿阳光灿烂

　　我于1943年8月抵达普林斯顿。气氛的变化令人难忘。那段日子高等研究院很清静，大多数人已离去为战事服务。Hermann Weyl 对我的工作很感兴趣。我访问之前他曾为《数学纪事》(Annals of Mathematics) 审阅过我一篇有关迷向曲面的论文，并写了一个很长的给予好评的报告。这件事是他亲自泄露给我的。报告提出了改进的建议，这说明他仔细地看了全文。我们经常交谈。Weyl 的深刻洞察之一是预言代数几何有非常美好的前景。

　　Andre Weil 那时在附近的 Lehigh 大学，我们很快就见了面并有好多可谈的内容。当时Weil 刚刚发表与 Allendoerfer 合作的关于 Gauss-Bonnet 公式的论文，它立刻成为我们讨论的话题。根据我对二维情况的埋解，我知道正确的证明应该建基于我们现在称之为超度 (transgression) 的概念之上。困难则有两个：1)当时我对关于向量场的奇点的 Poincare-Hopf 定理不甚清楚；2)超度必须在单位切丛中而不是在主丛中实现，这就涉及到一个不平凡的技术困难。这两个困难我都在短时间克服了，事情有了一个满意的结果。我仍认为这是我做得最好的工作。

　　其后自然要把这个结果扩展到 Stiefel-Whitney 类。那时即使在普林斯顿，谈起纤维丛也必得从定义开始。那时没有矢量丛，只有球丛。我注意到复示性类较简单，容许局部曲率表示。这项工作不难，但它并非那个时代拓扑学的时尚课题。

　　我虽是高等研究院的成员，但很多时间是在普林斯顿大学的范氏大楼【注3】度过的。Chevalley 那时正在写他的有关李群的书。Lefschetz 则固执己见，他不愿用当时盛行的常规方法研究微分几何。当时请我为《数学纪事》审阅一篇论文而建议退稿后，他让我担任该刊的副主编 (associate editor)。

　　普林斯顿的环境与工作节拍令我十分惬意。我对数学的看法成熟多了。留居普林斯顿的日子使我感到极大的乐趣。近年来科学竞争已使科学家的生活大煞风景，尽管在数学方面的情况要好得多。我认为没有非要如此快地出成果的必要，我也不为电子邮件的发现所动。

　　1945年底我告别普林斯顿回中国。踏上故土立即受命组建中国的科学院，即中央研究院的数学研究院，其时二次大战虽已结束，中国却由于内战而处于分裂状态。我向 Hermann Weyl 发出访华邀请，他欣然接受。但是中国当时的形势使这一访问未能实现。

　　1948年底南京政府处于崩溃之中，感谢高等研究院主动安排我离华。1949年冬季学期我在高等研究院，是 Veblen 的微分几何讨论班的主讲人。讲稿两年后补写出来，流传甚广。这些讲稿现收录在已出版的我的《论文选集》第四卷内。主要结果是 Weil 同态。这是陈类从酉群到任意李群的一个推广。1944年我在写有关复示性类的论文时就知道这个结果；由于未熟练掌握李群，当时未能证明它。Weil 通过考虑联络族，提供了一个关键性的思想。我把这个结果称为 Weil 同态。朋友们认为我应该分享这一荣誉，对此我自然不持异议。

数学上进入不惑之年

　　二次大战后，Marshall Stone 应召重组芝加哥大学数学系，并任系主任。他最早发出的两份聘约分别送达 Hassler Whitney 与 Andre Weil，这是他洞鉴数学与数学界的一个证明。Whitney 谢绝了，而 Weil 经过数次协商后接受了。

　　我在中国时 Stone 就曾写信给我谈起要在芝加哥为我提供一个讯问职位的事。1949年我来美国后，芝加哥大学数学系决定长期聘我。我认为芝加哥大学是美国唯一的其主要目标是「知识进步」而非教育的大学。我有许多朋友在那里的数学系；1949年夏我成了该系的成员。由此引出了一段愉快而有益的合作。

　　1949～1950学年我开了一门名为「大范围微分几何」的课程，有一批才华横溢的学生。我自己正在开辟自己的道路，我的学生及时更正了我的许多错误和疏忽，这是生气勃勃而又有趣的结合。我还记得 Arnord Shapiro，他曾主持许多这样的讨论。回想起来，当时我对微分几何的了解还是初步的。这门学科中一些争论问题至今未决，也许正反映了它的力量之所在。例如，曲面是什么？是嵌入还是浸入，或是由可能有奇点的方程所定义的？另一方面，我的课上涉及的许多课题，也获得了新的多方面的发展。

　　我与 Weil 联系密切。他随时都有准备，随时都可合作。在与我讨论过数学的众多数学家中，Weil 是极少数能迅速抓全我的思想并给予有益的评说的数学家之一。我们常沿着密执安湖畔长时间的漫步，这在当时还很安全。

　　我对代数拓扑也感兴趣，偶尔开一门这方面的课。我与 Ed Spanier 在球丛的研究上进行过合作。所获结果之一是把 Gysin 的工作写成一个正合序列。Rene Thom 把它做得更明白化了，这个结果现在通常称为 Thom 同构。

　　我觉得芝加哥和汉堡都非常令人愉快。我认为两者的规模都很合适。不幸的是数学的发展已使一切都膨胀了。

在西海岸定居

　　1960年我迁往伯克利 (Berkeley)。对我来说这地方并不陌生。我在中国的老师姜立夫教授就是在伯克利获得理学学位的。1946年和1949年我曾两度驻足伯克利并在伯克利数学系呆过一段时间。伯克利数学系是第一流的，它由 G.C. Evans 创建。Evans 曾在若干场合询问过我对去伯克利有无兴趣。Evans 的兄弟曾是天津著名的西文书店的老板。我曾在那儿买过一些课本，而书价一般贵得吓人。

　　Evans 要退休了，我去伯克利工作的事变得认真了，确实，我有时想到，自己年纪大了，伯克利较温暖的气候很有吸引力。当然，伯克利数学系在扩展，空运的发达已使加利福尼亚不再像从前那么孤立等因素，亦促成了我的这次迁居。

　　伯克利一直在提高它在数学界的地位，吸引着许多优秀的学生。在我指导下有31名研究生获博士学位，当然我还影响其它一些学生。我开始以「第二作者身份」【注4】与年轻人合作撰写论文，如与 Bott，Griffiths、Moser，以及 Simons 等合作就是如此。在这种情况下我感觉责任较轻。生活越来越觉舒畅。

　　与我在学术上交往密切的同事有 Hans Lewy 和 Chuck Morrey，他们都是有创见、能力很强的分析学家。Lewy 和对 R6 中的三维黎曼度量的局部等距嵌入问题进行过一段时问的研究。它把我们导向三次渐近锥面的研究，我们弄清楚那是双曲的，但仅止于此。

　　数学中的微分的作用很奇妙。通常人们倾向于认为代数和拓扑是数学的两根支柱。但是事情并非那样简单；牛顿和莱布尼兹玩的是绝技。这一时期已经看到微分几何汇入了数学的主流。

老耄之年的消遣

　　我的生命历程正在接近终点，我唯一的考虑是怎样度过这段时光。答案很简单，我将继续摆弄数学。体育运动我从来就不在行，现在就更不用说了。听音乐对我一直是浪费时间，偶尔介入此道，纯粹出于社交之故。所幸的是整体微分几何还有许多基本问题，尽管在其发展中我很可能仅是一名观众。

　　我认为，研究对象限于光滑流形只是由于技术上的原因，也是不能令人满意的。不仅很自然地存在着非光滑的流形，而且即使从光滑流形开始，诸如包络这样一些几何构造也将导致非光滑流形，Whitney 引进了分层流形 (Stratifiad manifold) 的概念，它允许有奇点并可应用无穷小分析。最近 Robert McPherson 的工作又带来了新的希望。Cheeger-Goresky-McPherson 相交同调和 McPherson 陈类已揭示出这一概念的本质。（见2）

　　对我来说，Riemann 结构是否像最新的进展所表明的那样基本还不清楚。毕竟 Riemann 在那篇历史性的论文中，允许他的度量是一种 4 次形式的 4 次根。更一般情形现在称之为 Finsler 度量。我在最近的一篇【注记4】中指出，只要采取适当的观点，Finsler 几何可以很简单地加以展开。进一步的发展则是必然的。

　　正如 Griffiths 曾注意到的，我之所以喜欢代数手法起因于我的经历。局部微分几何需要这样去作，但是要得到漂亮的局部性定理是困难的。很清楚，前面讨论过的有关最大秩的网的问题是很重要的问题，它将受到我的关注。

　　数学仍在不断地陶冶着我。

【1】 P. Griffiths and J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley, 1978.
【2】 Robert McPherson, Global questions in the topology of singular spaces, Proc. ICM Warszawa, vol 1, 198 213-235.
【3】 J. Moser, Geometry of quadrics and spectral theory, Chern symposium, Springer-Verlag, 1979, 147-148.
【4】 S. Chern, On Finsler Geometry, Comptes Rendus, Academie des Sciences, Paris (1991).

(转自中国科普博览，陈省身)